絡まった輪の形の紐がほどけるかほどけないかは数学で判定できる

絡まった輪っかの形の紐がほどけるかほどけないか

数学の位相幾何学の一分野に「結び目理論」があります。下の参考資料の図1のように、3次元空間の中の絡まった輪っかの形の紐を結び目と呼びます。図2のように、紐を連続的にふにゃふにゃ動かしても同じ結び目とみなします。ただし途中で紐同士を交わらせたり、紐を切ったり繋いだりしてはなりません。紐をうまく動かして平面上に交差点無しで乗せられる結び目は自明結び目と呼ばれるほどける結び目です。図3の左側の結び目はうまく動かすとほどけます。ほどけない結び目も存在して、それを空間内でどのように動かしても平面上に交差点無しでは乗りません。図1の結び目はほどけないことが知られています。

体の中の結び目

DNAは遺伝子の本体で、それを設計図として生物の体が構成されます。電話のコードのようにとても長い螺旋（らせん）の形をしていて、よく絡まります。DNAは結び目になることがあり、写真も撮られています。DNAは細胞分裂のために自分を複製しますが、その際に酵素が働きます。DNAを人工的に輪っか型にしてから、酵素を作用させると、酵素の働き方がよく分かるという研究があります。また、遺伝子の突然変異の研究に対しても結び目理論が応用されています。

ほどけるけれどもほどきにくい結び目の図

交差点を許せば、どんな結び目でも平面上に乗せられます。図を描くときは交差の下を通る紐を短く消します。2つの図が同じ結び目を表すならば、片方の図にライデマイスター変形（図5）をうまく有限回適用してもう一方の図に変形できます。どんな結び目の図が与えられても、それがほどけるかほどけないか判定できる有限アルゴリズム（手続き）が見つかっています。ただし、ある有限な範囲を虱潰しにする方法で、ほどくための紐の動かし方を明示しません。一方、ほどきにくい自明結び目の図も研究されています。図4の結び目の図は交差点をｎの1次式の個数持ちますが、ライデマイスター変形で交差点無しにするはｎの2次式の回数の操作が必要です。

参考資料

図1～5

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日本女子大学理学部数物情報科学科教授林忠一郎先生

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数学、位相幾何学

メッセージ

数学は奇想天外な新しい発想をたくさん学べて楽しいです。でも、数学は難しいです。では、何でもスラスラと理解できてしまったら、どうでしょう？　きっと詰まりませんね。そう。数学は難しいから面白いのです。分からないからと言って悲観するのではなくて、分からないことを楽しんでしまいましょう。大学に来れば仲間がたくさん居ます。三人寄れば文殊の知恵と言います。仲間と力を合わせて困難を乗り越えましょう。気さくに質問に答えてくれる先生も居ます。数学をやりたい人は、是非、恐れずにそのまままっすぐ進んでください。

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