超難解な流体力学を数学的に解析、新たな定理の発見へ！

理想流体の運動方程式「オイラー方程式」

数学の世界には、ミレニアム問題と呼ばれる7つの難問があります。アメリカのクレイ数学研究所によって100万ドルの懸賞金がかけられており、この中の1つが19世紀半ばにアンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって定式化されたナビエ・ストークス方程式（以下NS方程式）です。NS方程式とは、大気や水など粘性のある流体の運動を記述する方程式ですが、この方程式に解が存在するのか？　また、解が存在するならばどのような振る舞いをするのか？など、数学的にわからないことが多くあります。
この粘性流体を対象にしたNS方程式に対して、粘性を持たない理想流体の運動を記述したものがオイラー方程式です。オイラー方程式はNS方程式より100年前の18世紀半ばにレオンハルト・オイラーにより導かれた方程式で、この方程式についてもNS方程式と同様、未解明の問題があります。

渦のつくる結び目

19世紀半ばになると物理学者の間で、流体の渦の運動が研究され始めました。当時、物質はエーテルというものでできていると考えられており、ケルヴィンは原子がエーテルの結び目であるという仮説を立てました。ケルヴィンは結び目の表を作り元素を調べようとしましたが、メンデレーエフによる元素周期表が現れ、この仮説は廃れてしまいます。しかしその後、結び目は数学者の興味を引き、結び目理論と呼ばれる数学の一分野が発達しました。またケルヴィンは、渦がつくる結び目をオイラー方程式の解により表すことを考えました。この問題はケルヴィンの予想と呼ばれる、偏微分方程式の問題です。

新たな定理の発見へ

ケルヴィンの予想は進行波と呼ばれるオイラー方程式の特殊解に関係しています。進行波は水面を伝わる波の運動などで現れますが、オイラー方程式については未解明であることが多くあります。進行波を調べることにより、オイラー方程式が記述する解の様子を一部調べることができるのです。

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大阪公立大学理学部数学科准教授阿部健先生

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数学

メッセージ

大学までの受験数学では、「時間内にどれだけたくさんの問題が解けるか？」がポイントだと思います。しかし数学で大事なことは、「正しい論理で答えを導くこと」です。じっくりと物事を考えて、わからないことを自分の論理で正しい結論へと導くことができる人が数学科進学に向いていると思います。
学生時代は数学に限らず、いろいろなことに興味をもつといいと思います。一見役に立たないと思うことでも、勉強したり、経験したことは、卒業後の人生のさまざまな場面で現れます。

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