シャボン玉はなぜ丸い？　ものの形を数学的に考える

シャボン玉が丸い理由

シャボン玉を作って遊んだことがありますか。石けん水や洗剤で作るシャボン玉は、丸い形をしています。シャボン玉はなぜ丸くなるのでしょうか。その理由は、丸い形が一番安定するためです。シャボン玉の石けん膜で閉じ込められる空気の体積が一定である理想的な状態を考えると、石けん膜の表面積が小さいほど表面張力も小さくなり、エネルギー的に安定します。そして体積が一定であるなら、表面積が一番小さくなるのは球面なのです。このように、ものの形がどうやって決まるのかを、数学的に考える研究がなされています。

赤血球の問題

血液にある赤血球は、シャボン玉と同じように膜でできていますが、まん丸ではなく真ん中がつぶれた形をしています。これはつまり、シャボン玉とは安定する形が異なるということです。赤血球を数学的なモデルとして考えるときには、体積と表面積を一定として、「曲げエネルギー」という値が最小になるような形を考えます。しかし、曲げエネルギーが最小になるのが赤血球の真ん中がつぶれた形であるという証明はまだできていません。曲げエネルギーが最小になるような方程式を立てて解くと、解が無限に出てきてしまいます。その中には赤血球のような形になる解も含まれており、おそらくそれが最小になると予想されますが、すべての解がまだわかっていないのです。

結び目の問題

エネルギーが最小になる形を求める問題は、結び目についても考えることができます。数学で扱う結び目とは、三つ葉のような形をした「三葉（さんよう）結び目」など、両端の閉じた1本の曲線が絡んだものをいいます。結び目のエネルギーを考える場合は、赤血球の形で考えた曲がり具合のほかに、ねじれ具合も加味しなければなりません。そうしてエネルギーが最小になる結び目は、見た目もきれいだと考えられています。最近の研究により、結び目の問題は一見関係のない、波についての方程式「波動方程式」とつながりがある可能性が示唆されています。

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埼玉大学理学部数学科教授長澤壯之先生

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