空間や図形を不変量で調べる「代数トポロジー」の世界

「代数」で図形や空間の性質を調べる

中学や高校で学ぶ初等幾何では、「長さ」や「角度」を使って図形を調べました。一方、例えば物理で習う相対性理論は時空（すなわち4次元）を扱うため、そのような高次元の空間や図形を調べる際には、「長さ」や「角度」以外の測定方法もあったほうが便利です。現代数学では「位相不変量」という観測装置を用いてさまざまな図形を探究しますが、その発想の原点は、高校で学ぶ「多面体定理」や、毎朝の身支度の際に鏡に映る自分の姿が左右対称に見える現象と深く関わっていることが、いまでは明らかになっています。

さまざまな位相不変量

「多面体定理」に登場する（頂点数）−（辺の数）+（面の数）も位相不変量の一例であり、多面体の場合、その値は２になります。これは、すべての多面体が内側から膨らませると球面（＝地球の表面）になるという共通の性質に基づく結果です。このように「位相不変量」は、空間や図形を連続的に変形しても一定の値を保つという性質をもち、２０世紀にさまざまなものが発見されました。とくに、多くの興味深い位相不変量が「特性類」という形で得られることが知られており、その研究は現在でも活発に続けられています。

ホモトピーの考え方……幾何学の範疇を超えて

ポアンカレが創始した「ホモロジー論」を始まりとして、20世紀の数学の発展を経た現在では、「K理論」や「コボルディズム理論」など、多岐にわたる位相不変量が知られています。「安定ホモトピー論」と呼ばれる分野では、とりわけ図形や空間の基本的構成要素である「球面」の安定ホモトピー群に関心が持たれています。
さらに、ホモトピーの考え方は近年、より一般的な数学言語（圏論）へと昇華され、幾何学の枠組みを超えて、ほかの数学分野や理論物理の研究においても、その有用性がいっそう高まっています。

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先生情報 / 大学情報

東京都市大学理工学部自然科学科准教授中井洋史先生

興味が湧いてきたら、この学問がオススメ！

ホモトピー論、トポロジー、幾何学

先生が目指すSDGs

メッセージ

私の専門は「ホモトピー論」と呼ばれる幾何学の一分野ですが、研究には「群論」や「数論」など、さまざまな数学の分野が関連しています。最近では、幾何学に限らずそのような関連領域の数学にも興味があります。また、研究室の学生とは、現代数学だけでなく身近な題材に潜む数学にも取り組んでいます。
数学はどの分野にも独自の魅力があり、どれも面白いものです。数学に興味関心がある人であれば誰でも歓迎します。あなたも奥深い数学の世界を、一緒に探究しましょう。

東京都市大学に関心を持ったあなたは

２０２９年に１００周年を迎える東京都市大学は２００９年に武蔵工業大学から校名を変更。武蔵工業大学時代の伝統を引き継ぎつつ、自動車、エネルギー、建築、情報といった理工学分野に加え、環境、IoT、メディア、教育など数多くの専門分野を網羅する総合大学として成長を重ねています。今後も東急グループの一員としての強みを生かし、産学連携や地域社会との共同研究を積極的に進めつつ、未来の都市生活を創造し、そのなかで能力を発揮できる専門性と実践力を養成する「都市の総合大学」として、たゆまぬ発展を続けていきます。