見ることのできない多様体の「かたち」を推測する

多様体とはどんな形？

数学では、さまざまな形を扱いますが、その一つに「多様体」があります。例えば、いろいろな形の積み木を積み重ねると、多くの面を組み合わせてできた多面体ができます。n次元の多様体というのは、その多面体のそれぞれの面がn個の座標軸を持つ標準的な空間になったものです。分解して一部を表現したり、頭の中で類推したりすることはできますが、実際に全体を一度に見ることは不可能な複雑な形です。このようなたくさんの多様体を分類し、整理し、理解するのも、幾何学の一つの目標です。

多様体を知ることで何がわかるの？

多様体を知ることは、宇宙の星の分布や成り立ちを知りたいと思うのと同じで、純粋に探検的な興味ということもありますが、データを集めることで、その全体的な傾向を知る手段にもなるのです。
例えば、地上の各地点での気温や気圧、湿度など多くの観測要素を持つ気象データを集めて、全体の様子を知りたいという場面を考えてみましょう。地図の上に高い次元の軸を立てて、この高次元の空間の中に各データをプロットすれば、プロットされた点は、ある秩序に従って高次元の容れもののなかに形をつくります。この形を目で見ることはできませんが、それを調べることで、全体の傾向を読み取ることができるのです。まだ観測されていない地点のデータを推測することなどに役立つかもしれません。

どうやって多様体を調べるの？

調べ方には、研究者によってさまざまな方法がありますが、その一つが、多様体の折り畳み（投影）を使う方法です。例えば、ビーチボールは、空気を抜けば二つに折りたたんで平らにできるし、紙風船も4つに折り畳めます。トーラスと呼ばれるドーナツのような形も、浮き輪のようにたたむことができます。これらは目に見える多様体ですが、目に見えない多様体も同様に折り畳むことができます。この多様体を折り畳んだときにできる曲線（しわ）の形から、高次元の「かたち」（多様体の性質）を探っていくのです。

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秋田大学理工学部数理・電気電子情報学科数理科学コース准教授小林真人先生

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数学、幾何学

メッセージ

数学の教科書からは「数学は理路整然としていて、手を加える余地もない、完成したもの」という印象を受けるかもしれませんが、それは誤解です。数学はとてもアクティブです。数学研究の最前線は、純粋な理論的最先端から理工学、社会現象の応用へと広がり、さまざまな分野で新しい道を開くことができます。また、数学は思考を鍛える王道です。「なぜそのようなことをするのか」を問い、「それは本当なのか」、自分で判断する姿勢を失わずに勉強してください。丁寧に教科書を読み解いていけば、一生ものの力が身につきます。

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