流体のコンピュータ・シミュレーションの正しさを示すには？

ナビエ・ストークス方程式

身の回りにはさまざまな「流れ」に関する現象が起こっています。川や潮流、飛行機を浮かせる揚力、F1カーが走行する時に地面に押し付けられる力は、すべて流れによる現象です。これら流れの現象は、粒子の移動であるととらえられ、その移動は偏微分方程式であるナビエ・ストークス方程式で書き表せることがわかっています。

数学的に保証する

流れに関する自然現象についての理解や予測をしたい場合には、現象を表すモデルを作り、それに基づいてコンピュータによる数値シミュレーションを行います。モデルはいったんナビエ・ストークス方程式で書き表した後に、コンピュータで計算するために連立一次方程式に変換します。コンピュータは一次方程式でないと計算できないからです。この時の変換の仕方によって、違った連立一次方程式ができ上がり、シミュレーションの結果は変わってしまいます。そのために、選んだ変換方法が数学的に正しいという保証が必要になります。
ナビエ・ストークス方程式による解を「厳密解」、変換した一次方程式を使って得られた解を「数値解」とします。一定の間隔の時間や空間の数値を代入して計算するため、数値解は近似値で出されます。一般的に間隔が広ければ近似の精度は荒く、細かければ精度が良くなります。そこで、「もし間隔を極限まで細かくしたら数値解は厳密解に極限まで近づく」ということを証明したものを、シミュレーションの数学的な保証としています。

さまざまな事象の計算方法を考える

シミュレーションに対して数学的な保証をつけることで、このシミュレーションは信頼性が高く、高性能なスーパーコンピュータを使ってさらに研究を進める価値があるという判断ができます。実際の流れの様子は視覚で確かめにくいため、詳しい解析は数値シミュレーションに頼らざるを得ません。そのためには、さまざまな現象に合わせたモデルの構築が必要であり、それぞれをさらに精度良く解くための計算方法を生み出す研究が進められています。

参考資料

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先生情報 / 大学情報

金沢大学理工学域数物科学類教授野津裕史先生

興味が湧いてきたら、この学問がオススメ！

数学、数理学、数値解析学

先生が目指すSDGs

メッセージ

最近AI（人工知能）や機械学習が話題になっています。それらを支えるのが数学です。数学は得意でなくても、プログラミングは好きだという人もいるかもしれません。プログラミングは上から順番に書き記していきますが、その過程は数学と同じです。計算するだけでなく、論理を積み重ねるというのも数学の素養なのです。
一昔前までは高校数学までで多くのことを理解できましたが、今はもう少し先まで必要になっています。数学はとても役に立つ学問なので、ぜひ前向きに取り組んでください。それがあなたの未来を拓くと信じています。

先生への質問

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金沢大学は150年以上の歴史と伝統を誇る総合大学であり、日本海側にある基幹大学として我が国の高等教育と学術研究の発展に貢献してきました。本学が位置する金沢市は、日常生活にも伝統文化が息づき、兼六園などの自然環境に恵まれ、学生が思索し学ぶに相応しい学都です。江戸時代から天下の書府とも呼ばれ、伝統の中に革新を織り交ぜて発展してきた創造都市とも言えます。「創造なき伝統は空虚」との警句を胸に刻み、地域はもとより幅広く国内外から来た意欲あるみなさんが新生・金沢大学への扉を共に開くことを期待しています。