個性あふれる数たちが織りなす世界

無理数の発見

数直線は数を大小の順で直線上に並べたものです。私たちにとって身近な存在である整数は、数直線上に等間隔で並んでいます。また、この間隔を再び等間隔に区切ることによって、1/2や3/5などの有理数たちが見つかります。今から2500年以上前、数学者ピタゴラスが生きていた古代ギリシア時代では、数直線上のすべての数は有理数たちによって埋め尽くされていると信じられていました。
しかし時を同じくして、有理数でない数の存在が明らかになります。無理数√2の発見です。これは、当時の教育・世界観を揺るがす衝撃的な出来事でした。

たくさんあるのに見つからない！？

√2の他にどのような無理数があるでしょうか。実は、無理数の例を挙げることはそれほど簡単ではありません。特に、与えられた数が有理数か無理数か判定することは、現代の数学においても大変難しい問題です。小学校の算数で登場する円周率でさえ、無理数であることが証明されたのは250年程前。数学の歴史から見れば、つい最近の事です。
また有理数と無理数はどちらも無限にありますが、数直線の大部分を占めているのは無理数であることがわかっています。これは古代ギリシア時代に信じられていたことと真逆の事実です。無理数は沢山あるはずなのに、なかなか例を挙げられない。なんとも不思議な感じがしませんか？

いろいろな数の分類

整数を係数とする多項式の根となっている数は「代数的数」と呼ばれています。例えば、有理数a/bは多項式bx－aの根であるので代数的数です。また、無理数√2も、多項式x²-2の根であるので代数的数です。つまりこの分類においては、有理数も√2も同じグループに属しています。一方、円周率はどのような多項式の根にもなりません。つまり、円周率は代数的数ではないのです。このような数たちは「超越数」と呼ばれています。超越数の世界は、無理数の世界以上に暗闇に包まれています。そこに光を当てて数の個性を明らかにすることが、数の研究の魅力・醍醐味でもあるのです。

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弘前大学理工学部数物科学科准教授立谷洋平先生

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